数学の記号ωについてまとめる

数学で使う記号ωについてまとめます。

ωとは

1の3乗根(3乗して1になる数)のうち、虚数であるものの1つをωとします。

ωには以下の性質があります。

ωの性質

1の3乗根は1,ω,$ω^2$

$ω^3 = 1$

$ω^2 + ω + 1 = 0$

この性質を紐解いて見たいと思います。

①1の3乗根は1,ω,$ω^2$の証明

1の3乗根が1,ωは明白なので、$ω^2$が1の3乗根になることについて解説します。

xを1の3乗根とすると、

$x^3 = 1$
$x^3 - 1 = 0$

因数分解して、

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

よって、$x = 1,\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$ω = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$とすると

$ω^2 = (\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})^2$
$= \frac{1 - 2 \sqrt{3}i + 3i^2}{4}$
$= \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$

$ω = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$とすると

$ω^2 = (\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2})^2$
$= \frac{1 + 2 \sqrt{3}i + 3i^2}{4}$
$= \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$

以上より、$ω^2$も1の3乗根であることがわかります。

②$ω^3 = 1$

先ほど求めた$ω^2$にωをかけて計算すると1になることがわかります(計算は省略)。

$ω^2 + ω + 1 = 0$の証明

先に示したように、ωは$x^2 + x + 1 = 0$の解なので、
$ω^2 + ω + 1 = 0$が成り立ちます。

初版:2019/7/16

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