三角関数のおける加法定理の公式とその証明方法について

三角関数における加法定理とその証明方法をまとめたいと思います。

三角関数の加法定理

2つの角α,βの和α + β,差α - βの三角関数は、α,βのそれぞれの三角関数を用いて、
以下のように表されます。

$$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ - ①$$

$$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ - ②$$

$$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ - ③$$

$$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ - ④$$

$$tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanαtanβ} - ⑤$$

$$tan(α - β) = \frac{tanα - tanβ}{1 + tanαtanβ} - ⑥$$

$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$ - ④の証明

便宜常④の公式から証明します。
下図のように単位円上で、動径OA,OBの表す角を、それぞれα,βとし、地点ABの距離について考えます。 2点A,Bの距離は、以下にように導かれます。

加法定理証明の図解

$AB^2 = (cosβ - cosα)^2 + (sinβ - sinα)^2$
$= (sin^2β + cos^2β) + (sin^2α + cos^2α) -2(cosαcosβ + sinαsinβ)$
$= 2 -2(cosαcosβ + sinαsinβ)$

ここで、三角形OABで余弦定理を用いると

$AB^2 = 1^2 + 1^2 -2・1・1・cos(α - β)$となるので、先ほどの式に代入して整理すると

$2 -2cos(α - β) = 2 - 2(cosαcosβ + sinαsinβ)$
$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$ - ④
が成り立ちます。

$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$ - ③の証明

④で、βを-βに置き換えてみますと

$cos\{α -(-β)\} = cosαcos(-β) + sinαsin(-β)$
$cos(-β) = cosβ$
$sin(-β) = -sinβ$より

$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$ - ③

$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$ - ①の証明

④でαを$\frac{π}{2} - α$に置き換えて考えます。

$cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\} = cos(\frac{π}{2} - α)cosβ + sin(\frac{π}{2} - α)sinβ$

$cos(\frac{π}{2} - α) = sinα$
$sin(\frac{π}{2} - α) = cosα$より

$cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\} = sinαcosβ + cosαsinβ$

また、$cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\}$を式として考えると、
$cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\} = cos\{(\frac{π}{2} -(α + β)\} = sin(α + β)$から

$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$ - ①
が求められます。

$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ$ - ②の証明

①において、βを-βに置き換えて式変換します。

$sin(-β) = -sinβ$
$cos(-β) = cosβ$より

$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ$ - ②

$tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanαtanβ}$ - ⑤の証明

⑤の証明に関しては、$tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}$の公式を用いて、変換することにより求めることができます。

 

$tan(α + β) = \frac{sin(α + β)}{cos(α + β)} = \frac{sinαcosβ + cosαsinβ}{cosαcosβ - sinαsinβ}$
ここで、分母・分子を分母のcosαcosβで割ります。

 

$= \frac{\frac{sinαcosβ + cosαsinβ}{cosαcosβ}}{1 - \frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}}$

 

$= \frac{\frac{sinα}{cosα} + \frac{sinβ}{cosβ}}{1 - \frac{sinα}{cosα}・ \frac{sinβ}{cosβ}}$
分子は部分分数分解をしています。

 

よって
$tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanαtanβ}$ - ⑤

$tan(α - β) = \frac{tanα - tanβ}{1 + tanαtanβ}$ - ⑥の証明

⑤において、βを-βに置き換えると
tan(-β) = -tanβであるから

$tan(α - β) = \frac{tanα - tanβ}{1 + tanαtanβ}$ - ⑥
となります。

tanの公式は、sinとcosの加法定理の公式から簡単に求められるので、
覚える必要があるのは、sinとcosの公式ですね。

初版:2019/8/1

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