相加平均・相乗平均の大小の証明方法

まずは、相加平均と相乗平均とはなにかについて書きます。

相加平均とは

実数a,bがあるとすると、

${a + b \over 2}$

を相加平均といいます。

相乗平均とは

a > 0,b > 0としたとき、

$\sqrt{ab}$

を相乗平均といいます。

相加平均・相乗平均の大小について

a > 0,b > 0のとき

$${a + 2 \over 2} >= \sqrt{ab}$$

が成り立ちます。

つまり、
相加平均 >= 相乗平均
になります。

また、=となるときは、a = bのときに限ります。

相加平均・相乗平均の大小の証明方法

恒等手段として、左辺から右辺を引いて、式の2乗の形にもっていくことで証明します。

${a + b \over 2} - {\sqrt{ab}}$

ここで、式を2で割ると、よく見る形にもっていくことができます。

${1 \over 2} \{ (\sqrt a)^2 - 2 \sqrt a \sqrt b + (\sqrt b)^2 \} $

式を2乗の形にして

${1 \over 2} (\sqrt {a} - \sqrt{b})^2 >= 0$

という感じで証明できます。

2018/7/10

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