等差中項とはなにか、そしてその性質について

数列における等差中項とはなにかとその性質について確認します。

等差中項とはなにか

3,5,7

等差中項は、上例のように3つの項の数列に着目した時の性質に関していいます。

3,5,7をそれぞれa,b,cと置くと

$$2b = a + c$$

となります。

上例で表すと

2 × 5 = 3 + 7

からもわかります。

等差中項の性質の証明

3項の一番左端の項を初項aとします。
2・3番目の項は公差dを加算したものなので、3項は以下のように表せます。

a,a + d,a + 2d

ここで、第1項と第3項を足したものと中項に2をかけたものが等しいことに気づけます。

2(a + d) = a + (a + 2d) = 2a + 2d

ここで、3数列をa,b,cとおいて一般化すると

$2b = a + c$

と求めることができます。

では、最後に問題を

等差数列をなす3数があり、その和が24、積が480である。
この3数を求めよ

先の等差中項でこの数列を表せば文字数を一つ減らすことができます。
これを利用すれば求められます。(単純なので過程は省略、答えは6,8,10です)

初版:2018/7/25

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