2項定理について

2項定理の概念・公式についてまとめます。

2項の以下のような展開式があるとします。

$(a + b)^2$

この式を展開すると、
$a ^ 2 + 2ab + b^2$

となりますが、この項の係数の出力には法則があって、それを2項定理といいます。

2項定理の公式

$(a + b)^n$
として、展開すると

$(a + b)^2 = {}_n \mathrm{ C }_0 a^n + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b + {}_n \mathrm{ C }_2a^{n - 2}b^2 + \cdot \cdot \cdot {}_n \mathrm{ C }_ra^{n - r}b^r + \cdot \cdot \cdot + {}_n \mathrm{ C }_nb^n$

2項定理の利用方法

2項定理の中で現れる項
${}_n \mathrm{ C }_ra^{n - r}b^r$
を利用することで、2項を展開する上で現れる項の係数を簡単に求めることができます。

2項定理の利用例

以下のような例題があるとします。

$(a + b)^5$を展開した時の$a^2b^3$を求めよ

2項定理を利用すると、$r = 3$のとき、$a^2b^3$が現れます。
よって、求める係数は

${}_5 \mathrm{ C }_3a^{5 - 3}b^3 = 10a^2b^3$

よって、係数は10になります。

初版:2019/10/19

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