原点以外の点を中心とする円の接線の方程式の公式とその証明方法について

原点を中心とする円の接線の公式については、以前書いたので、
今回は、原点以外の点を中心とする円の接戦の方程式の公式とその証明方法について書きます。

原点以外の点を中心とする円の接線の方程式の公式

円$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$上の点
$(x_{1},y_{1})$における接線の方程式は

$$(x_{1} - a)(x - a) + (y_{1} - b)(y - b) = r^2$$

原点以外の点を中心とする円の接線の方程式の公式の証明

円C:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$を、中心(a,b)が原点に一致するように平行移動すると、

円C':$x^2 + y^2 = r^2$になります。

この移動により、円C上の点$(x_{1},y_{1})$は、円C'上の点$(x_{1} - a,y_{1} - b)$に移り、
その点における接線の方程式は、原点を通る円上の接線の方程式に代入して

$(x_{1} - a)x + (y_{1} -b)y = r^2$ - ①

この直線をx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したものが、
円C上の点$(x_{1},y_{1})$における接線で、その方程式は①を平行移動して、

$(x_{1} - a)(x - a) + (y_{1} - b)(y - b) = r^2$

となり、証明することができました。

初版:2019/7/27

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