円上における接戦の公式とその証明について

円上における接線の公式とその証明方法について書きます。
まずは、円上における接線の公式から

円上におけるの接線の公式

円$x^2 + y^2 = r^2$上の点(a,b)における接線の方程式は

$$ax + by = r^2$$

円上における接線の公式の証明

円の接点をP(a,b)とします。
円の接戦の方程式は、点Pがx軸上、y軸上にある場合と、そうでない場合にわかれるので、
それぞれのケースを考えます。

点P(a,b)が座標軸上にない場合

求める接戦は、点Pを通り、半径OP(傾き$\frac{b}{a}$に垂直な直線(傾き$-\frac{a}{b})$だから、

$y - b = - \frac{a}{b}(x - a)$

整理して

$ax + by = a^2 + b^2$

ここで、点Pは円上にあるので、円の方程式に代入して
$a^2 + b^2 + r^2$

よって、接線の方程式は
$ax + by = r^2$ - ①

点Pがx軸上にあるとき

Pがx軸上にあるとき、接線の方程式は
x = r または x = -r
になります。

これは、①の公式に、a = r,b = 0とすると得ることができます。

点Pがy軸上にあるとき

Pがy軸上にあるとき、接線の方程式は
y = r または y = -r
になります。

これは、①の公式に、a = 0,b = yとすると得ることができます。

初版:2019/7/25

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