円周角の定理の逆の性質とその証明について

円周角の定理の逆の性質とその証明方法について書きます。

4点A,B,P,Qについて、
点P,Qが直線ABに関して同じ側にあり、

$\angle APB = \angle AQB$

ならば、4点A,B,P,Qは1つの円周上にある。

下図をご覧ください

上図では、3点A,B,Qを通る円Oと点Pに対して、次の1 ~ 3が成り立っています。

1.点Pが円Oの周上にある。(緑のケース)

2.点Pが円Oの内部にある。(赤のケース)

3.点Pが円Oの外部にある。(青のケース)

$\angle APB = \angle AQB$であるとき、

点Pが円Oの内部にあると仮定すると、$\angle APB > \angle AQB$となるが、
これは$\angle APB = \angle AQB$に矛盾する

点Pが円Oの外部にあると仮定すると、$\angle APB < \angle AQB$となるが、
これは$\angle APB = \angle AQB$に矛盾する

以上から、2,3と矛盾するので、点Pは円Oの周上にあると言えます。

つまり、4点A,B,P,Qは1つの円周上にあると証明することができます。

初版:2020/4/22

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