点と直線の距離の公式とその証明

当たり判定でも使う場面の多い点と直線の距離の公式とその証明方法についてまとめたいと思います。

点と直線の距離の公式

点$(x_{1},y_{1})$と直線ax + by + c = 0の距離dは

$$d = \frac{|ax_{1} + by_{1} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

原点と直線との距離の公式

点と直線との距離の公式を証明するためにまずは、原点(0,0)と直線との距離の公式の証明をします。
公式は、以下になります。

原点$(0,0)$と直線ax + by + c = 0の距離dは

$$d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

原点と直線との距離の証明

原点と直線の距離の公式証明図

直線をax + by + c = 0 - ①とします。

原点Oを通り、直線①に垂直な直線の方程式は

bx - ay = 0 - ②

2直線①,②の交点をHとし、この座標を求めるために、連立方程式①,②を解きます。

① × a + ② × bから

 

$(a^2 + b^2)x + ac = 0 - ③$

① × b - ② × aから

 

$(a^2 + b^2)y + bc = 0 - ④$

①において、$a \neq 0$または$b \neq 0$だから(a,b両方0なら、直線の方程式ではなくなってしまう)

$a^2 + b^2 > 0$

よって、③より$x = - \frac{ac}{a^2 + b^2}$

④より$y = - \frac{bc}{a^2 + b^2}$

なので、点Hの座標は$(- \frac{ac}{a^2 + b^2},- \frac{bc}{a^2 + b^2})$

距離dはOHなので

$d = \sqrt{(- \frac{ac}{a^2 + b^2})^2 + (- \frac{bc}{a^2 + b^2})^2}$

$d = \sqrt{ \frac{c^2(a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2)^2}}$

$d = \frac{\sqrt{c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

よって
$d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点と直線の距離の公式の証明

原点と直線との距離の公式を利用して、点と直線の距離の公式の証明をします。

点と直線の距離の公式証明図

点A$(x_{1},y_{1})$とし、直線ax + by + x = 0をlとします。

点Aが原点Oに移るように、直線lをx軸方向に$-x_{1}$、
y軸方向に$-y_{1}$だけ平行移動すると、移動後の直線l'の方程式は

$a\{x -(-x_{1})\} + b\{y - (-y_{1})\} + c = 0$

原点と直線の距離の公式が使えるようにまとめると
$ax + by + (ax_{2} + by_{1} + c) = 0$

点Aと直線lの距離dは、原点Oと直線l'の距離に等しいから、
原点と直線との距離の公式を利用して

$$d = \frac{|ax_{1} + by_{1} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

となり、公式を証明することができました

初版:2019/7/22

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