三角関数の2倍角の公式とその証明について

三角関数における2倍角の公式とその証明方法をまとめたいと思います。

2倍角の公式一覧

$$sin2α = 2sinαcosα$$

$$cos2α = cos^2α - sin^2α$$

$$cos2α = 2cos^2α - 1$$

$$cos2α = 1 - 2sin^2α$$

$$tan2α = \frac{2tanα}{1 - tan^2α}$$

$sin2α = 2sinαcosα$の証明

加法定理の$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$
において、$β = α$と置き換えることで、sinの2倍角の公式が得られます。

$sin(α + α) = sinαcosα + cosαsinα$
よって、

$sin(α + α) = 2sinαcosα$

$cos2α = cos^2α - sin^2α$の証明

こちらも加法定理の公式において、βをαと置き換えることによって、導きます。
$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$

$cos(α + α) = cosαcosα - sinαsinα$
$= cos^2α - sin^2α$

$cos2α = 2cos^2α - 1$の証明

$cos2α = cos^2α - sin^2α$から$-sin^2α = -1 + cos^2α$と置き換えることにより導きことができます。

$cos2α = 1 - 2sin^2α$の証明

こちらも同様に
$cos2α = cos^2α - sin^2α$から$cos^2α = 1 - sin^2α$と置き換えることにより導きことができます。

$tan2α = \frac{2tanα}{1 - tan^2α}$の証明

加法定理$tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanαtanβ}$
からβ=αに置き換えることにより2倍角の公式を導くことができます。

$tan(α+α) = \frac{tanα + tanα}{1 - tanαtanα}$

整理して、
$tan2α = \frac{2tanα}{1 - tan^2α}$

このように、2倍角の公式は、加法定理から簡単に導くことができます。

初版:2019/8/2

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