関数の平行移動と軸の対象移動の公式とその証明について

まず、関数の平行移動の公式は、以下のようになります。

関数を$Y = f(x)$ とし、
X軸の移動量をp,Y軸の移動量をqとすると

$$Y = f(x - p) + q$$

続いて、関数の平行移動の公式の証明です。

$y = f(x)$のグラフ上の点を$(X,Y)$として、
$(X,Y)$をx軸方向にp,y軸方向にqだけ平行移動した点を$(x,y)$とします。

$(X,Y)$は関数$y = f(x)$グラフ上の点なので、

$Y = f(X)$

$x = X + p,y = Y + q$より
$X = x - p,Y = y - q$

これを$Y = f(x)$に代入して

$y - q = f(x - p)$

つまり

$y = f(x - p) + q$

続いて、関数の対象移動の公式をみていきましょう。

関数$y = f(x)$が点$(a,b)$を通るとすると

x軸の対象移動

$$ y = -f(x) $$

y軸の対象移動

$$ y = f(-x) $$

原点に対する対象移動

$$ y = -f(-x) $$

$y = f(x)$のグラフ上の点を$(X,Y)$、$Y = f(X)$として、
x軸、y軸、原点に対象な点を$(x,y)$とします。

x軸に対象な点は、$x = X$,$y = -Y$となるので、関数$Y = f(X)$に代入して、

$-y = f(x)$
$$y = -f(x)$$

y軸に対象な点は、$x = -X$,$y = Y$となるので、関数$Y = f(X)$に代入して、

$$y = f(-x)$$

原点に対象な点は、$x = -X$,$y = -Y$となるので、関数$Y = f(X)$に代入して、

$-y = f(-x)$
$$y = -f(-x)$$

初版:2018/5/7