関数の平行移動と軸の対象移動の公式とその証明について

まず、関数の平行移動の公式は、以下のようになります。

関数をY = f(x)とし、
X軸の移動量をp,Y軸の移動量をqとすると

$$Y = f(x - p) + q$$

関数の平行移動の公式の証明

続いて、関数の平行移動の公式の証明です。

y = f(x)のグラフ上の点を(X,Y)として、
(X,Y)をx軸方向にp,y軸方向にqだけ平行移動した点を(x,y)とします。

(X,Y)は関数y = f(x)グラフ上の点なので、

Y = f(X)

x = X + p,y = Y + qより
X = x - p,Y = y - q

これをY = f(x)に代入して

y - q = f(x - p)

つまり

y = f(x - p) + q

関数の対象移動の公式

続いて、関数の対象移動の公式をみていきましょう。

関数y = f(x)が点(a,b)を通るとすると

x軸の対象移動

$$ y = -f(x) $$

y軸の対象移動

$$ y = f(-x) $$

原点に対する対象移動

$$ y = -f(-x) $$

関数の対象移動の公式の証明

y = f(x)のグラフ上の点を(X,Y)、Y = f(X)として、
x軸、y軸、原点に対象な点を(x,y)をします。

x軸に対象な点は、x = X,y = -Yとなるので、関数Y = f(X)に代入して、

-y = f(x)
$$y = -f(x)$$

y軸に対象な点は、x = -X,y = Yとなるので、関数Y = f(X)に代入して、

$$y = f(-x)$$

原点に対象な点は、x = -X,y = -Yとなるので、関数Y = f(X)に代入して、

-y = f(-x)
$$y = -f(-x)$$

初版:2018/5/7

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