等比数列の一般項と和の公式の証明

等比数列に関してまとめたいと思います。
まずは、等比数列の定義から

等比数列の定義

数列{an}において、各項が1つ前の項に定数rをかけたものに等しい時、この数列を等比数列という。
また、この一定の比rを公比といいます。

等比数列の一般項の求め方

等比数列の一般項{an}は初項aに公比rを(n-1)回かけたものだから

$an = ar^{n-1}$

r = 1の時は、$ar^0$となり
$a × 1$となるため初項が求まります。

 等比数列の和の公式

等比数列の和の公式は

$r \ne 1$のとき

$Sn = {a(1 - r^n) \over 1 - r}$

r = 1の時、

$Sn = na$

となります。

 等比数列の和の公式の証明

まずは、$n \ne 1$のケース証明から
SnとSnに公比rをかけたrSnの差分を計算すると、和の公式を簡単に求めることができます。

$Sn = a + ar + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・ + ar^(n - 1)$
$rSn = ar + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・ + ar^(n - 1) + ar^n$

Sn - rSnを計算することにより、公式が姿を表します。

$(1 - r)Sn = a - ar^n$

右辺をaでまとめて

$(1 - r)Sn = a(1 - r^n)$

よって、
$Sn = {a(1 - r^n) \over 1 - r}$

続いてr = 1のケースの証明です。
単純にaにrをかけていくと、

Sn = a + a × 1 + a × 1 ・・・ a × n

となるので、Sn = na
ということが簡単にわかります。

以上、等比数列の一般項と和の公式を求めました。

初版:2018/8/6

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