三角関数の半角の公式とその証明方法について

三角関数の半角の公式とその証明方法について、書きたいと思います。
まずは、半角の公式の一覧をまとめます。

半角の公式一覧

$$sin^2\frac{α}{2} = \frac{1 - cosα}{2}$$

$$cos^2\frac{α}{2} = \frac{1 + cosα}{2}$$

$$tan^2\frac{α}{2} = \frac{1 - cosα}{1 + cosα}$$

$sin^2\frac{α}{2} = \frac{1 - cosα}{2}$の証明

sinの半角の公式を得るには、2倍角の公式$cos2α = 1 - 2sin^2α$を変形して

$sin^2α = \frac{1 - cos2α}{2}$

ここで、αを$\frac{α}{2}$に置き換えると

$sin^2\frac{α}{2} = \frac{1 - cosα}{2}$が得られます。

$cos^2\frac{α}{2} = \frac{1 + cosα}{2}$の証明

cosの半角の公式もsinのそれと同じ要領で、
$cos2α = 2cos^2α - 1$を変形することにより得られます

$cos^2α = \frac{1 + cos2α}{2}$

同じように、αを$\frac{α}{2}$に置き換えると

$cos^α\frac{α}{2} = \frac{1 + cosα}{2}$が得られます。

$tan^2\frac{α}{2} = \frac{1 - cosα}{1 + cosα}$の証明

先ほど導いた2つの式、
$sin^2α = \frac{1 - cos2α}{2}$
$cos^2α = \frac{1 + cos2α}{2}$

を$tanα = \frac{sinα}{cosα}$に当てはめます。

$\frac{sin^2α}{cos^2α} = \frac{1 - cos2α}{2} ÷ \frac{1 + cos2α}{2}$

よって

$tan^2\frac{α}{2} = \frac{1 - cosα}{1 + cosα}$
となり、tanの半角の公式を求めることができました。

半角の公式の求め方のまとめ

半角の公式を導く場合は、2倍角の公式を変形し、一般角をαとすると
αを$\frac{α}{2}$と置き換えることにより、求めることができます。

初版:2019/8/4

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