正弦定理を図で証明する
三角関数の項目で学ぶ、正弦定理の証明を図を使っておこないたいと思います。
まずは、正弦定理とはなんぞやというところから
正弦定理とは
三角形ABCの外接円の半径をRとします。
すると、以下の公式が成り立ちます。
$${a \over sinA} = {b \over sinB} = {c \over sinC} = 2R$$
次にこれを証明します。
正弦定理の公式の証明
正弦定理を証明するために、対象の角度を場合分けして考えます。
まずは、対象の角度をAとした時にA = 90°とした場合について考え、
以下に図示します。
$\angle A = 90°$の場合

Aが90°の時、直線aは円の中心点0を取り、直径になるので、a = 2Rとなります。
また、sin90°は1なので、以下のように変換することができます。
$a = 2R = 2Rsin90° = 2RsinA$
となり、
${a \over sinA} = 2R$
となります。
$\angle A < 90°$の場合
つづいて、鋭角の場合です。
以下の図を例とします。

弧BCに対して、頂点Dを設け、BDが中心点Oを通るようにすると、
$\angle D$に対して、角度が90°の場合の正弦定理を使うことができます。
弧BCに対する円周角は等しいので、
$\angle D = \angle A$
よって
a = 2RsinD = 2RsinA
となります。
$\angle A > 90°$の場合
最後に鈍角の場合の証明です。
以下の図を例とします。

まず、BDが円の中心点を通るように、点Dをおきます。
円に内接する四角形の対角の和が180°であることを利用して、
$a = 2RsinD$
$a = 2Rsin(180° - A)$
$a = 2RsinA$
正弦定理は図示すると、簡単に求めることができるんですね。
初版:2018/6/5