正弦定理を図で証明する

三角関数の項目で学ぶ、正弦定理の証明を図を使っておこないたいと思います。
まずは、正弦定理とはなんぞやというところから

正弦定理とは

三角形ABCの外接円の半径をRとします。
すると、以下の公式が成り立ちます。

$${a \over sinA} = {b \over sinB} = {c \over sinC} = 2R$$

次にこれを証明します。

正弦定理の公式の証明

正弦定理を証明するために、対象の角度を場合分けして考えます。
まずは、対象の角度をAとした時にA = 90°とした場合について考え、
以下に図示します。

$\angle A = 90°$の場合

正弦定理角度が90°の場合の図と証明

Aが90°の時、直線aは円の中心点0を取り、直径になるので、a = 2Rとなります。
また、sin90°は1なので、以下のように変換することができます。

$a = 2R = 2Rsin90° = 2RsinA$

となり、

${a \over sinA} = 2R$
となります。

$\angle A < 90°$の場合

つづいて、鋭角の場合です。
以下の図を例とします。

正弦定理角度が鋭角の場合の図と証明

弧BCに対して、頂点Dを設け、BDが中心点Oを通るようにすると、
$\angle D$に対して、角度が90°の場合の正弦定理を使うことができます。

弧BCに対する円周角は等しいので、
$\angle D = \angle A$

よって

a = 2RsinD = 2RsinA

となります。

$\angle A > 90°$の場合

最後に鈍角の場合の証明です。
以下の図を例とします。

正弦定理角度が鈍角の場合の図と証明

まず、BDが円の中心点を通るように、点Dをおきます。
円に内接する四角形の対角の和が180°であることを利用して、

$a = 2RsinD$ $ = 2Rsin(180° - A)$ $ = 2RsinA

正弦定理は図示すると、簡単に求めることができるんですね。

初版:2018/6/5

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