メネラウスの定理の解説とその証明方法について

非常に覚えにくい、メネラウスの定理について、忘れないようにまとめたいと思います。

三角形ABCがあり任意の直線lが三角形の3辺AB,BC,CA(または辺の延長線上)の交点をF,D,Eとします。
すると、その時次の等式が成立します。

$\frac{AF}{FB} ・ \frac{BD}{DC} ・ \frac{CE}{EA} = 1$

この関係を図解すると、下図のようなイメージになります。

メネラウスの定理の公式は、非常に覚えにくいと思いますが、
ルールに沿って考えると覚えやすくなります。

それは、三角形の頂点から、直線lの交点へ行き、その交点から、三角形の次の頂点に向かうというルールです。
これを図で示すと以下のようになります。

赤の矢印が、三角形の頂点から三角形の辺と直線の交点に向いており、
青の矢印が、直線の交点から三角形の頂点へと向いています。

メネラウスの定理はこれを繰り返すことで、導くことができます。

メネラウスの定理の証明方法を相似を使って図解します。

下図のように、線ABと並行な線を点Cから引いて、線分Lとの交点をKとします。

続いて、三角形FBCと三角形KCDが相似であることから、

BD:CD = BF:CK
BD・CK = CD・BF

ここで、CD・CKで両辺を割って

$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CK} - ①$

続いて、三角形EAFと三角形ECKが相似であることから、

AE:EC = AF:CK
AE・CK = EC・AF

両辺をEC・CKで割って

$\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{CK} - ②$

①より、$CK = \frac{BF・DC}{BD}$
CKを②に代入して

$\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{\frac{BF・DC}{BD}}$

$\frac{AE}{EC} = AF ÷ \frac{BF・DC}{BD}$

よって、
$\frac{AE}{EC} = \frac{AF・BD}{BF・DC}$

ここで、$\frac{EC}{AE}$を両辺にかけることによって、メネラウスの定理を導くことができます。

$\frac{EC}{AE} ・ \frac{AE}{EC} = \frac{AF・BD ・ EC}{BF・DC ・ AE}$

整理して、

$1 = \frac{AF}{FB} ・ \frac{BD}{DC} ・ \frac{CE}{EA}$

メネラウスの定理は補助線を引いて、三角形の相似を利用して求められます。

初版:2019/1/28

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