ベクトルの外分点の公式とその証明方法について

ベクトルの外分点の公式とその証明方法についてまとめてみます。

まずは、ベクトルの外分点について書きます。

ベクトルの外分点とは

まず、ベクトルの外分点について、解説します。
以下の図を見てください。

ベクトルと外分点の図

図では、線ABがあり、点Pがあります。
線ABと点Pの関係に着目すると、
AP = 2AB

また、
AB = BPです。

点Pに着目して、線ABの長さを表現すると、
ABの長さの2倍地点からABの長さを引いたものと表現できます。

この時、点Pは線分ABを2:1に外分するといいます。
線分に対して外側の点を通る時、外分という表現になるんですね。

外分点の公式について

ベクトルの内分点の公式と同様に外分点の公式もあります。
図のOPベクトルをOAベクトルとOBベクトルを使って簡単に求めることができます。
外分点の公式を一般化すると以下のようになります。

ベクトルOPがベクトルABをx:yに外 分するとき

$$\overrightarrow{OP} = \frac {-y \overrightarrow{OA} + x \overrightarrow{OB}}{x - y}$$

と表すことができます。

ベクトルの外分点の公式の証明

 

ベクトルの外分点の公式の証明をしてみます。
内分点の公式を求めたのと同じ手順で、OPベクトルをOAベクトルOBベクトルを使って表せるように考えます。

まず、下図のようにOPベクトルは、OAベクトルとAPベクトルを加算したものと等しいので、

ベクトルと外分点の証明の図解

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}$

APをAB使って表すと、比の関係より
AP : AB = 2 : (2 - 1)
AP = 2AB

ABベクトルをOAベクトルとOBベクトルで表すと

$\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$

これらを利用してOPベクトルを表すと

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} -2 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = - \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB}$

この結果をを外分点の公式に当てはめると

$$\overrightarrow{OP} = \frac {- \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB}}{2 - 1}$$

となり、公式が成り立っていることがわかります。
外分点の比をx:yなどの代数で一般化することで証明できます。

初版:2019/3/19

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