部分分数分解の公式と解説

部分分数分解とは、分母が積になっている分数を分解して、別々の式にします。
通分の逆ということですね。
公式は以下になります。

a != 0の時(!=はnot equalの意味)

       1               1         (    1            1    )
---------------- = ---------- ・ ( --------  -  -------- )
 (x + a)(x + b)      b - a       (  x + a        x + b  )
      

解説をすると

       1
----------------
 (x + a)(x + b)

*捕捉
ここから、(x + b) - (x + a)の形に直して、部分分数に分けやすいようにする

      1          (x + b) - (x + a)
= ---------- ・ --------------------
    b - a          (x + a)(x + b)

*捕捉
ここで、通分の逆を行います。

      1         (    1            1    )
= ---------- ・ ( --------  -  -------- )
    b - a       (  x + a        x + b  )

部分分数分解の公式の使用例

公式より分子が1で、分母が+で乗算式になっていることが公式を使用できる条件です。

    1               1
---------- + -----------------
 a(a + 1)     (a + 1)(a + 2)

 *捕捉

各々が

    1                1
----------  = -----------------
 a(a + 1)      (a + 0)(a + 1)

       1
----------------- これはそのまま..
  (a + 1)(a + 2)

となり公式が適応できます

公式に当てはめて

  1   (    1            1    )       1   (     1           1    )
----- ( -------  -  -------- )  +  ----- ( --------  -  ------- )
1 - 0 (  a + 0        a + 1  )     2 - 1 (   a + 1       a + 2  )

    1         1
= -----  - -------
    a       a + 2

       2
=  ---------
    a(a + 2)

のように使用することができます。

手書きでまとめると...

部分分数分解の公式

2018/5/1

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