正の整数の約数の個数と総和を求める公式について

正の整数の約数と総和を簡単に求める公式があるので、
公式についてまとめたいと思います。

正の整数Aが$A = p^kq^lr^m$と素因数分解されるとき、Aの正の約数の個数は

$$\displaystyle (k + 1)(l + 1)(m + 1)$$

総和は

$$\displaystyle (1 + p + ・・・ + p^k)(1 + q + ・・・ + q^l)(1 + r + ・・・ + r^m)$$

と簡単に求めることができます。

正の約数を12とします。
12を素因数分解すると$2^2 \cdot 3$

これを総和の公式に当てはめると

$(1 + 2 + 2^2)(1 + 3)$

この式を展開すると

$(1 + 2 + 2^2)(1 + 3) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 3$

右辺の各項がどれも$2^2 \cdot 3$の正の約数になっており、重複するものがありません。
よって、正の約数の個数は積の法則により、3個 × 2個 = 6個となります。

約数の個数の公式に換算すると、
$k = 2,l = 1$となるので、
約数の個数の公式$\displaystyle (k + 1)(l + 1)(m + 1)$と一致しています。

総和に関しては、
$(1 + 2 + 2^2)(1 + 3)$
が各々の約数の和そのものなので計算すると

$7 × 4 = 28$
となります。

初版:2019/9/24