2次方程式の解の存在範囲

2次方程式の解の存在範囲について、まとめます。
下記のような条件のもとだと、解の条件が特定できるというものです。

$f(x) = ax^2 + bx + c(a \ne 0),h < k$
とすると、

$f(h)f(k) < 0$

ならば、方程式f(x) = 0は、$h < x < k$
に、ただ一つの解をもち、もう一つの解が
x < h または k < xにある。

y = 0とした時の2次方程式の以下のグラフを見るとこの性質が当たり前だと思うことができます。

2次方程式の解の存在範囲の図解

では、この性質を利用した問題を。

方程式$2x^2 - 3x - 4 = 0$は<$-1 < x < 0$と$2 < x < 3$に解を持つことを表せ

あからさまな問題ですけど、解いてみます。

$f(x) = 2x^2 - 3x - 4$とする

$f(-1) = 1 > 0, f(0) = -4 < 0$
$f(2) = -2 < 0, f(3) = 5 > 0$

よって、f(x) = 0は
-1 < x < 0 と 2 < x < 3
に解を持つ

では、応用形?の問題をもう一つ...

a < bとする。xに関する方程式
$(x - 2a)(x - 2b) - (2x - a - 3b) = 0$
は相違なる2つの実数解を持つことを示し、その解をα,β(α < β)として、
2a,2b,α,βの大小を比べろ

まず、x = 2a,2bの時に定数になることに着目します。
$f(x) = (x - 2a)(x - 2b) - (2x - a - 3b)$
とし、xに2aと2bを代入してみましょう

$f(2a) = -(4a - a - 3b) = -3(a - b) > 0(a < b)$
$f(2b) = -(4b - a - 3b) = -3(b - a) < 0(a < b)$

これより、+・-の解をもつので、性質が利用できそうです。
そして、f(x)を展開した時の$x^2$の係数が+であることから、
xの大きい値をcとるすると、f(c) > 0になるので、

f(x) = 0 は 2a < x < 2aと
2b < xに解をもち

α < βであるから、
$2a < α < 2b < β$

こんな感じで利用できます

初投稿:2018/5/17
更新:2018/5/18

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