階差数列とその例題と解法

階差数列とその例題と解法を学びます。
まず、階差数列の例題をみてみましょう。

次の数列の一般項を求めよ。
2,7,18,35,58,・・・

一般項を求める問題なので、公差を求めるために、項ごとの差を計算していくと、以下ようになります。

5,11,17,23,・・・

ここで、この数列が、初項5、公差6の等差数列になっていることに気づきます。

このように、隣り合った2項の差で作られた数列を階差数列と言います。

例題の解法

まず、例題の数列をanとし、その階差数列をbnとします。

anの2項目からは、anの初項2にbnの数列の和を足したものだということがわかるので、これを一般式にしていきます。
例を挙げると、

たとえば、a2 = 7は、
2(初項) + 5

a3 = 18は、
2(初項) + 5 + 11 = 18

という規則で成り立っていることがわかりますね。

この規則がいまのところ、a2以降のみで成り立つことを明記して、一般項を求めていきます。

n >= 2のとき
$an = a_1 + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } b_k = 2 + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } (6k - 1)$
$= 2 + 6 × {1 \over 2}n(n - 1) - (n - 1)$

計算して、$a_n = 3n^2 - 4n + 3 ・・・①$

ここで、n >= 2以上で成り立つことが確認できたので、
n = 1で一般項が成り立つかを確認します。

n = 1のとき、

$a_1 = 3 × 1^2 - 4 × 1 + 3 = 2$
となり、①はn = 1も時も成り立つことが証明できました。

よって、 $a_n = 3n ^ 2 - 4n + 3$

nが2以上の時に成り立つことを前提としている点に注意が必要です。
以上階差数列でした。

初版:2018/9/10

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