3次方程式の解と係数の関係の公式とその証明方法について

3次方程式にも解と係数の関係を一般化し、問題として利用することがあります。
解と係数の関係について、まとめたいと思います。

3次方程式の解と係数の関係の公式

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a \neq 0)$の3つの解をα,β,γとすると

$$α + β + γ = - \frac{b}{a}$$

$$αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$$

$$αβγ = - \frac{d}{a}$$

3次方程式の解と係数の関係の公式の証明

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a \neq 0)$の3つの解がα,β,γの時、等式

$ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - α)(x - β)(x - γ)$

が成り立ちます。
これは恒等式なので、右辺を展開して

$ax^3 + bx^2 + cx + d = a\{x^3 - (α + β + γ)x^2 + (αβ + βγ + γα)x - αβγ\}$

両辺を係数を比較すると

$b = -a(α + β + γ)$より
$α + β + γ = - \frac{b}{a}$

$c = a(αβ + βγ + γα)$より
$αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$

$d = -aαβγ$より
$αβγ = - \frac{d}{a}$

より、証明することができました

初版:2019/7/19

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