絶対値で表現される2次関数の放物線と直線の共有点の個数の問題の解法

絶対値で囲まれている2次関数と直線の共有点の個数をもとめる問題の解法をまとめます。
まず、例題を。

$f(x) = |x^2 + 2x - 3| + 2x + 6,g(x) = 2x + a$(aは定数)とする
$y = f(x)$のグラフと$y = g(x)$のグラフの共有点の個数を求めよ

共有点の個数なので、$|x^2 + 2x - 3| + 2x + 6 = 2x + a$
として、2x + 6を右辺に移行すると、2xが消えて定数になります。

なので、絶対値の2次関数と直線の共有点の個数を調べる形にもっていきます。

では、解答例をみていきましょう。

解答例

求める共有点の個数は、
$y = |x^2 + 2x - 3|$のグラフと直線$y = a - 6$
との共有点の個数に一致する。

$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$だから、

$y = |x^2 + 2x - 3|$の絶対値を外すと

$-(x^2 + 2x - 3) (-3 < x < 1))$
$x^2 + 2x - 3 (x <= -3,x >= 1)$

となります。

また、グラフは下図のようになり、グラフより求める共有点の個数は

a < 6のとき0個,a = 6のとき2個
6 < a < 10のとき4個,a = 10のとき3個
10 < aのとき2個

絶対値の2次関数と直線の共有点の範囲を示した図

初版:2018/5/23

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