2直線のなす角をtanを使って求める方法

2直線のなす角をtanを使って求める前に、tanの性質について考えてみます。

tanは直線の傾きである

まずは、このことについて考えてみます。

以下の図のように、
直線y = mx + nと
y = mxがあるとします。

tanと傾きが+な直線との関係図

y = mxに関して、
x = 1の時、直線上の点はP(1,m)となります。
ここで、直角三角形POxについて

tanθ = mとなり、傾きmがtanθと同意であることがわかります。
nが0出ない場合も同様です。 m < 0の場合は下図のようになります。

tanと傾きが-な直線との関係図

これを踏まえて2直線のなす角についての問題を解いてみます。

2直線${\sqrt3}x + y - 3 = 0 ・・・①$
$x - y + 2 = 0 ・・・ ②$
のなす角のうち、鋭角であるものを求めよ

まず、直線①と②をy=の形に変形します。

$y = -{\sqrt3}x + 3$

$y = x + 2$

この2直線を図示すると、以下のようになり。
2直線の鋭角であるなす角をθとします。

2直線の図

これを、先のtanと直線の傾きの図に照らし合わせるために、切片を0とした直線に置き換えます。

切片を0とした時の2直線の図

直線①、②のy > 0部分とx軸のなす角を、α(0° < α < 180°),β(0° < β < 180°)とすると、

①の傾きが$-{\sqrt3}$だから
$tanα = -{\sqrt3}$

α = 120°

①の傾きが1だから
$tanβ = 1$

β = 45°

図より
θ = α - b = 120° - 45° = 75°

このようにtanθと直線の傾きを結びつけることで、簡単に求められます。

初版:2018/5/31

このエントリーをはてなブックマークに追加