条件の式がnot equalの時の等式の証明方法

条件の式がnot equalの等式の証明方法を書きます。
例題は以下になります。

条件にx not equal yというのがあからさまにあるので、
x = yだとまずい条件つまり(x - y) or (y - x)を式から導きだします。

$x^2 - yz = 2 ・・・①$
$y^2 - xz = 2 ・・・②$

とおいて、①から②をひくと、(x + y)(x - y)と因数分解でき、(x - y)と置換することができます。
それではこれを踏まえて、解答を。。。

① - ②から

$x^2 - y^2 - (yz - zx) = 0$
$(x + y)(x - y) + z(x - y) = 0$

(x - y)で展開して

$(x - y)(x + y + z) = 0$

ここで条件から、$x - y \ne 0$
なので、x + y + z = 0ということが言えます。

x + y + z = 0を利用して、z =の形で置き換えて、
$z = -(x + y) ・・・③$

① + ②から

$x^2 + y^2 - (yz + zx) = 4$

ここで、zに変換できるように(x + y)の形を作り出します。

$(x + y)^2 - 2xy -z(x + y) = 4$

③を代入して

$z^2 - 2xy + z^2 = 4$

整理して

$z^2 -xy = 2$

と証明することができます。

2018/7/9