2次関数の放物線と直線の共有点の個数の問題の解法

2次関数の放物線と直線の共有点の個数の問題の解法をまとめます。
まずは、例題から。

kは定数とする、
関数$y = -x^2$のグラフと直線$y = -2x + k$
との共有点の個数を調べよ

共有点の個数を求めるので、yを入れ替えて、判別式にて、解の個数を出せばokです。

解答例

yを消去して、

$-x^2 = -2x + k$
$x^2 -2x + k = 0 ・・ ①$

①について、判別式より
${D \over 4} = (-1)^2 - k = 1 - k$

k < 1のとき D > 0
①は異なる2つの解をもち、共有点は2個

k = 1のとき D = 0
①は重解をもち、共有点は接点で1個

k > 1のとき D < 0
①は解をもたず、共有点は0個

よって、
k < 1のとき2個、k = 1のとき1個(接点),k > 1のとき0個

ここで、係数Kを分離するときの解法も見て見ましょう

係数kを分離し、直線kとの共有点を調べる方法

$-x^2 = -2x + kを-x^2 + 2x = k$

と置いて、
放物線$y = -x^2 + 2x$と
直線$y = k$との共有点と考えて、個数を求める方法があります。

以下の図のようなグラフに置き換えることができます。

放物線と直線の共有点を求める

図で表すと明確に理解できて、いい感じです。

初版:2018/5/21

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