比例式を使った等式の証明方法の解法テクニック

比例式を使った等式の証明問題の解法テクニックをみていきます。
では、例題を。

${a \over b} = {c \over d}$のとき、${a^2 + c^2 \over a^2 - c^2} = {ab + cd \over ab - cd}$
を証明せよ。

${a \over b} = {c \over d} = k$

のように1文字で置き換えることにより、対象の文字を一文字減らすことができるので、これを利用して式を簡単にします。
では、解答例を

解答例

まず、先ほどのように比例式を1文字で置き換えます。

${a \over b} = {c \over d} = k$

続いて、分数にならないように、
$a = bk,c = dk$
と置きます。

あとは、計算するだけです。

左辺

${a^2 + c^2 \over a^2 - c^2} = {b^2k^2 + d^2k^2 \over b^2k^2 - d^2k^2} = {(b^2 + d^2)k^2 \over (b^2 - d^2)k} = {b^2 + d^2 \over b^2 - d^2}$

右辺

${ab + cd \over ab - cd} = {b^2k + d^2k \over b^2k - d^2k} = {(b^2 + d^2)k \over (b^2 - d^2)k} = {b^2 + d^2 \over b^2 - d^2}$

よって

${a^2 + c^2 \over a^2 - c^2} = {ab + cd \over ab - cd}$

初版:2018/7/6

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