2次関数の条件付き最大値・最小値問題の解法テクニック

2次関数の条件付き最大値・最小値問題の解法テクニックをまとめます。
まずは、例題からみていきます。

2つの変数x,yが$x^2 + y^2 = 1$を満たしながら変化する時
式 $y + x^2$の取りうる値の最大値・最小値を求めよ

$x^2 + y^2 = 1$
をxに着目して変形し、対象となっている式に代入すれば、2次式が-なので、最大値がだせそうですが、
問題は、最小値をどうやって求めるかです。

ここで、$x^2 + y^2 = 1$の変数の変域について考えてみます。

$x^2 = 1 - y^2$
ここで$x^2 >= 0$ですから、
$1 - y^2 >= 0$

$1 - y^2 >= 0$を変形して
$(1 + y)(1 - y) >= 0$から

$-1 <= y <= 1$

このように、yの範囲を絞ることができるので、最大値・最小値が求められそうです。
では、上記を踏まえて、解答例をみていきます。

解答例

$x^2 + y^2 = 1$から
$x^2 = 1 - y^2 >= 0$ よって $-1 <= y <= 1$

-1 <= y <= 1だから、$y = {1 \over 2}$のとき最大
y = -1の時最小である。
$x^2 = 1 - y^2$からxも求めて

$(x,y) = (\pm {\sqrt{3} \over 2},{1 \over 2})$のとき最大値${5 \over 4}$

$(x,y) = (0,-1)$のとき最小値$-1$

初版:2018/5/24

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