2次不等式の成立条件の解法テクニック

2次不等式の成立条件の解法テクニックに関してまとめます。
では、例題を。

2つの方程式
$ax^2 -3x + a = 0$
$x^2 - ax + a-2 - 3a = 0$
の一方だけが実数解をもつaの値の範囲を求めよ

一方だけが実数解をもつということで、範囲に気をつける必要があります。
そして、実数解をもつということで、解の公式の判別式を利用します。
a = 0の場合の場合分けにも気をつける必要があります。
では、解答例を

解答例

$ax^2 -3x + a = 0 ・・・ 1$について

a != 0のとき $D1 = (-3)^2 -4 a ・ a = 9 - 4a^2$

a = 0のとき $-3x = 0$(a = 0の時解をもつということ)

$x^2 - ax + a-2 - 3a = 0$ ・・・ 2について

$D2 = (-a)^2 -4(a^2 -3a) = 3a(4 - a)$

1が解を持つ条件は、$-{3 \over 2} <= a <= {3 \over 2}$ ・・・ 3

2が解を持つ条件は、$0 <= a <= 4$ ・・・ 4

片方だけが実数解をもつので、3・4が共通解を持たないように注意します。
範囲は下図のようになります。

3・4における解の範囲

3・4の一方だけが成り立つaの範囲だから

$- {3 \over 2} <= a < 0,{3 \over 2} < a <= 4$

2018/5/14

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