2次不等式の成立条件、関数同士の差分範囲の解法

2次不等式の問題で、2つの関数の差分に関する問題の解答例をみてみます。
こんな問題です。

実数aを係数に含む二つの関数
$f(x) = x^2 + 2ax + 5$,
$g(x) = -x-2 + (a - 1)x - 5$
に対して、実数kが存在し、すべてのxについて、$f(x) > k > g(x)$
となる条件をもとめよ

常にf(x) > g(x)となるということなので、f(x)の最小値 > g(x)の最大値が成り立てば、
いいことがわかります。
f(x)・g(x)の係数も基本系に変形すると、最大・最小が求められるようになっているのも特徴です。
では、解答例を

解答例

f(x)の最小値をm,g(x)の最大値をMとすると
m > Mとなる。

$f(x) = (x + a)^2 - a^2 + 5$
より

$m = -a^2 + 5$

$g(x) = -(x - {a - 1 \over 2})^2 + {(a - 1)^2 \over 4} - 5$ よって、

${(a - 1)^2 \over 4} - 5$

よって、
$-a^2 + 5 > {(a - 1)^2 \over 4} - 5$

整理して、
$5a^2 -2a -39 < 0$
$(a - 3)(5a + 13) < 0$から

${-13 \over 5} < a < 3$

2018/5/15

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