2次不等式の整数解の個数問題の解法テクニック

2次不等式の問題で、不等式の整数解の個数問題の解法テクニックをまとめたいと思います。
こんな問題です。

不等式$x^2 -(a - 3)x -2a + 2 < 0$
を満たすxの整数値がただ一つあるような定数aの値の範囲を求めよ

xの整数値がただ一つということなので、y = 0のときのxの2解の差分が2未満であればいいことになります。
?となると思うので、式と手書きの図で例をあげたいと思います。

$(x - 3)(x - α) < 0$
を満たすxの整数値がただ一つある場合の図は

不等式のただ一つの整数を満たす解

図のように解の一つが-3だとすると、もう一方の解αは

α < -3
α > -3の場合に分けられます。

また、α < -3のケースだと

解αは
α > -5
となりますね。

理解したところで、問題で復習します。

解答例

不等式を変換して、

$x^2 -(a - 3)x - 2(a - 1) < 0$

かけて、$-2(a - 1)$
足して、$-a + 3$の2数は、
2,-(a - 1)なので、

$(x + 2){x - (a - 1)} < 0$ ・・・(1)

(1)を満たすxの整数値がただ一つある条件は

$-4 <= a - 1 < -3$ xの整数値は-3のみ

または、

$-1 < a - 1 <= 0$
xの整数値は-1のみ

これらを解いて

-3 <= a < -2
0 < a <= 1

2018/5/16

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