三角比の性質のまとめとその証明

試験に出る以下の3つの三角比の代表的な性質をまとめます。

$sin^2θ + cos^2θ = 1$

$tanθ = {sinθ \over cosθ}$

$1 + tan^2θ = {1 \over cos^2θ}$

公式の証明

証明をするのに、下図のような単位円を書きます。

三角比の性質を証明するための図

単位円周上に、$\angle POx = θ$となる点P(p,q)をとると

cosθ = p ・・・①
sinθ = q ・・・②
$tanθ = {q \over p} = {t \over 1} = t,p \ne 0$

図より三平方の定理を使って、
$p^2 + q^2 = 1$
①・②より $sin^2θ + cos^2θ = 1$

③をベースに①・②を代入して
$tanθ = {sinθ \over cosθ}$

$sin^2θ + cos^2θ = 1$の両辺を$cos^2θ$で割ると、
$tan^2θ + 1 = {1 \over cos^2θ}$

となりそれぞれ求めることができます。

初版:2018/5/30

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