2曲線で囲まれた面積の公式とその証明方法について

2曲線で囲まれた面積の公式とその証明方法について、まとめたいと思います。
まず、その公式について書きます。

2曲線で囲まれた面積を求める公式

区間$a \leqq x \leqq b$で$f(x) \geqq g(x)$のとき、
2曲線、$y = f(x)$,$y = g(x)$および2直線$x = a$,$x = b$で囲まれた部分の面積Sは

$$\displaystyle S = \int_a^b \{ f(x) - g(x) \}dx$$

求める面積がx軸の上側にある場合

2曲線と囲まれた面積が、x軸の上にある場合。
下図のケースを考えます。

2曲線で囲まれた面積を求める、2曲線がx軸の上側にある場合

求める面積をSとすると、面積Sは曲線$f(x)$とx軸との面積から、曲線$g(x)$とx軸の面積を引いたものと同等になります。

よって、求める面積は

$S = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx$
$= \int_a^b \{f(x) - g(x)\} dx$

図で考えると、明白になります。

求める面積の全体がx軸の上側にない場合

求める面積全体が、x軸の上側にないとき、全体がx軸の上側にあるように、
下図のようにy軸方向に一定量cだけ並行移動します。

2曲線で囲まれた面積を求める、2曲線がx軸の上側にない場合

$S = \int_a^b \{f(x) + c \}dx - \int_a^b \{g(x) + c \}dx$

$\int_a^b\left[\{f(x) + c \} - \{g(x) + c \} \right] dx$

よって、

$= \int_a^b \{f(x) - g(x)\} dx$

初版:2019/8/23

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