2直線の交点を通る直線の求め方について

2直線の交点を通る直線を求めよという問題があり、
公式というか簡単に求めるための方法があったので、
その方法についてまとめたいと思います。

2直線の交点を通る直線の公式

2直線をそれぞれ、
$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ - ①
$a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ - ②

とすると、これらの直線の交点を通る直線は

$$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} + k(a_{2}x + b_{2}y + c_{2}) = 0$$

と定義することができます。

2直線の交点を通る直線の公式の証明

証明するために、公式が2直線①②の交点を通ることと直線であるということを示します。

公式が2直線①②の交点を通る証明

2直線①,②の傾きは異なるから、2直線は1点で交わります。
その交点をA(p,q)とすると、

$a_{1}p + b_{1}q + c_{1} = 0$かつ$a_{2}p + b_{2}q + c_{2} = 0$
が成り立つので、

$a_{1}x + b_{1}y + c_{1} + k(a_{2}x + b_{2}y + c_{2}) = 0$が成り立ち
この図形は2直線の交点を通ります。

公式が直線であることの証明

公式をx,yについてまとめると

$(a_{1} + ka_{2})x + (b_{1} + kb_{2})y + c_{1} + kc_{2} = 0$

$a_{1} + ka_{2} = 0$かつ$b_{1} + kb_{2}$を同時に満たすkの値は存在しないので、
公式の表す図形は直線になります。

補足:定数$a_{1} = 1,a_{2} = 2,b_{1} = 3,b_{2} = 4$とすると $1 + 2k = 0$と$3 + 4k = 0$を同時に満たすKはありません。

初版:2019/7/26

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