期待値とは

ある試行の結果によって、値\(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot,x_n\)のどれか一つが決まる変量Xがあり、
Xがそれぞれの値を取る時の確率を\(p_1,p_2,\cdot \cdot \cdot,p_n\)とする。

このとき、

\(p_1 + p_2 + \cdot \cdot \cdot + p_n = 1\)になり、

\(E = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdot \cdot \cdot + x_np_n\)になり、

これを、変量Xの期待値という。

宝くじを例にとって、その期待値を求めてみます。

1等:10000円 : 5本
2等:5000円 : 10本
3等:1000円 : 20本
4等:100円 : 100本
はずれ:0円 : 865本

1000本に対する賞金の総額は、

\(10000 \times 4 + 5000 \times 10 + 1000 \times 20 + 100 \times 100 + 0 \times 865 = 140000\) - ①

くじ一本あたりはでは、

\(140000 / 10000 = 140\)円

よって、くじ一本引く時、平均して140円の賞金が期待できます。

ここで、①の両辺をくじの総本数の1000で割ると

\(\displaystyle 10000 \times \frac{4}{1000} + 5000 \times \frac{10}{1000} + 1000 \times \frac{20}{1000} + 100 \times \frac{100}{1000} + 0 \times \frac{865}{1000} = 140000\)

つまりこれは、

(各等の賞金額) × (その場合の確率)の和 = (平均的に期待される金額)

となっていることがわかります。

初版:2021/9/6

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