扇型の面積の求め方とその証明

扇型の面積を求める公式とその公式の証明についてまとめます。

半径$r$,孤の長さが$l$の扇形の面積$S$を求める公式は

$$S = \dfrac{1}{2}rl$$

半径$r$の円の面積を$S$とします。
円の面積は

$S = πr^2$

この円からなる扇型の中心角度を$x$とすると、扇型の面積$S'$は円の面積の$\dfrac{x}{360}$掛けたものなので、

$S' = πr^2 \times \dfrac{x}{360}$ - ①

円に対する弧の長さの比と円と扇型の中心角の比は一致するので、

$ \displaystyle \dfrac{x}{360} = \dfrac{l}{2πr}$ - ②

①に②を代入して

$ \displaystyle S' = \dfrac{1}{2}lr$

初版:2022/11/22
更新:2023/12/9(①で$πr^2$となってしまっていたところを修正)
2024/2/14(①で$πr^2$に再修正(勘違い))

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