三角関数を使った三角形の面積の求め方とヘロンの公式の証明

三角関数を使った三角形の面積の求め方とヘロンの公式の証明を行います。
まずは、三角関数を使った三角形の面積の求め方を解説します。

sinを利用して、三角形の高さを求めて、そこから三角形の面積を求めます。
なので、2辺の長さとその間の角度が分かっていれば、三角形の面積を求めることができます。

下図をみてください。

点$B$から$AC$に向けて垂線を引き、$AC$との交点を$h$とします。
また便宜上$BH$を$h$とおきます。 sinの定義より

$h = csinA$

とおけるので、三角形の面積は

$${1 \over 2}bcSinA$$

となります。

上図のように三角形の3辺の長さをそれぞれを$a,b,c$として、
$s = \dfrac{a + b + c}{2}$とすると三角形の面積は

$$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$

となり、これをヘロンの公式といいます。

下図の三角形を題材に使い証明を行います。

三平方の定理を三角形BAHに適用して

$h^2 = c^2 - x^2$ ・・・①

また、三角形BHCにも三平方を使って

$h^2 = a^2 - (b - x)^2$

同等だから

$c^2 - x^2 = a^2 - b^2 - x^2 + 2bx$

$x$について整理すると

$x = \dfrac{b^2 -a^2 + c^2}{2b}$

これを①に代入して

$h^2 = c^2 - \dfrac{(b^2 -a^2 + c^2)^2}{(2b)^2}$

両辺に$(2b)^2$をかけて

$4b^2h^2 = 4b^2c^2 - (b^2 - a^2 + c^2)^2$

ここで、右辺を因数分解します。

$(2bc + b^2 - a^2 + c^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2)$

ここで、$(b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc$
であることを利用して、式を整理します。

$\{(b + c)^2 - a^2 \} \{a^2 - (b - c)^2 \}$

2乗+-の形になったので、ここでさらに因数分解を行います。

$(b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c)$

ここで、$a + b + c = 2s$とおいて、右辺を置き換えます。

$4b^2h^2 = 2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)$

右辺の掛け数2を取り出して、整理します。

$16s(s - a)(s - b)(s - c)$

両辺を4で割って

$b^2h^2 = 4s(s - a)(s - b)(s - c)$

ここで、三角形の面積は
$S = \dfrac{bh}{2}$
なので、式に代入すると

$$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s -c)}$$

となり、証明することができます。
途中の因数分解がポイントですね。

初版:2018/6/12

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