連続する3つの整数の積が6の倍数である事の証明方法について

連続する3つの整数の積が6の倍数である事の証明について書きます。

整数を$k$とします。

連続する3つの整数を$n - 1,n,n + 1$とし、$B = (n - 1)n(n + 1)$とします。

連続する2整数の積は2の倍数なので、Bは2の倍数と言えます。
よって、Bが3の倍数であることを示せば、
Bは6の倍数であることが示されます。

[1]$n = 3K$の時、Bは3の倍数

[2]$n = 3K + 1$の時、
$n(n + 1)$は2の倍数なので、$(n - 1)$に$3k + 1$を代入すると

$n - 1 = (3k + 1) - 1 = 3k$

[3]$n = 3K + 2$の時、
$(n - 1)(n)$は2の倍数なので、$(n + 1)$に$3k + 2$を代入すると

$(n + 1) = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1)$

よって、$n$,$n - 1$,$n + 1$のいずれかが3の倍数となるから、
Bは3の倍数になり、連続する2つの整数の積は2の倍数になるから、Bは6の倍数になる。

初版:2021/8/31