連続する3つの整数の積が6の倍数である事の証明方法について

連続する3つの整数の積が6の倍数である事の証明について書きます。

連続する3つの整数の積が6の倍数である事の証明

整数をkとします。

連続する三つの整数を\(n - 1,n,n + 1\)とし、\(B = (n - 1)n(n + 1)\)とします。

連続する2整数の積は2の倍数なので、Bは2の倍数と言えます。
よって、Bが3の倍数であることを示せば、
Bは6の倍数であることが示されます。

[1]n = 3Kの時、Bは3の倍数

[2]n = 3K + 1の時、
n(n + 1)は2の倍数なので、(n - 1)に3k + 1を代入すると

n - 1 = (3k + 1) - 1 = 3k

[3]n = 3K + 2の時、
(n - 1)(n)は2の倍数なので、(n + 1)に3k + 2を代入すると

(n + 1) = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1)

よって、n,n - 1,n + 1のいずれかが3の倍数となるから、
Bは3の倍数になり、連続する2つの整数の積は2の倍数になるから、Bは6の倍数になる。

初版:2021/8/31

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