余弦定理を図で証明する
余弦定理を図を使って、証明する方法をメモります。
まずは、余弦定理に関して説明します。
余弦定理とは
三角形ABCがあるとすると、以下のような性質が成り立ちます。
$$a^2 = b^2 + c^2 -2bcCosA$$
また、上式をcosAについて整理すると、
$$cosA = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}$$
となり、これを図で証明したいと思います。
余弦定理の公式の証明
余弦定理の証明は直角三角形に三平方の定理と、三角関数を使えば簡単に求めることができます。
では、解説を
三角形を書いて、わかりやすいように点Aを原点に持っていき、
点BをX軸と平行の位置に置きます。
また、点CからABに垂線をおろして、三平方の定理が使えるようにします。
これを図にすると、以下のようになります。
まず、斜線の直角三角形に三平方の定理を使って、
$a^2 = (c - bCosA)^2 + (0 - bSinA)^2$
$= c^2 - 2bcCosA + b^2(cos^2A + sin^2A)$
$sin^2A + cos^2A = 1$だから
$a^2 = b^2 + c^2 -2bcCosA$
となり、余弦定理を求めることができます。
初版:2018/6/6
