論理と集合の用語まとめ

式や文章で表された事柄で、正しいか正しくないか定まるものを命題という

文字を含んだ文や式において、文字に値を代入したときに、その値によって真か偽かがわかる文や式を条件という。

2つの条件p,qについって、「pならばqである」を$p \Rightarrow q$という形で表す。
また、pを仮定、qを結論という。

2つの条件p,qを満たすものの全体の集合をそれぞれP,Qとすると

$p \Rightarrow q$が真 $\Leftrightarrow$ $P \subset Q$

$q \Rightarrow p$が真 $\Leftrightarrow$ $Q \subset P$

$p \Leftrightarrow q$が真 $\Leftrightarrow$ $P = Q$

と表される

$p \Rightarrow q$が偽のときは、Pの中にqを満たさない要素が少なくとも1つあるとうこと。
そのはみ出す要素を反例という

2つの条件p,qにおいて

$p \Rightarrow q$が真であるとき、

pはqであるための十分条件
qはpであるための必要条件
という。

$p \Rightarrow q$と$q \Rightarrow p$が共に真である($p \Leftrightarrow q$が成り立つ)とき

pはqであるための必要十分条件
qはpであるための必要十分条件

このとき、pとqは互いに同値であるという

命題$p \Rightarrow q$に対して

$q \Rightarrow p$を逆

$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$を裏

$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$を対偶

命題の真偽とその待遇の真偽は一致する

命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致しない

全体集合Uにおいて、条件p,qを満たすものの全体の集合をそれぞれP,Qとすると

pかつq($P \cap Q$) ・・・ p,qが共に成り立つ
pまたはq($P \cup Q$) ・・ p,qの少なくとも一方が成り立つ

条件pの否定(pでない)を$\overline{ p }$で表す。

ドモルガンと同じく
$\overline{pかつq} \iff \overline{ p }$または$\overline{ q }$

$\overline{pまたはq} \iff \overline{ p }$かつ$\overline{ q }$

初版:2019/10/21

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