場合の数における積の法則についてとその例題

場合の数における積の法則について、書きます。

事象A,Bがあり、Aの起こり方がa通りあり、その各々において、Bの起こり方がb通りずつあるとすると、
A,Bが共に起こる場合の数はa×b通りとなる。

では、積の法則を使った例題をみていきます。
ある数の約数がいくつあるかという種類の問題です。

まず、5400を素因数分解します。
すると、

$5400 = 2^3 ・ 3^3 ・ 5^2$

となります。

このとき5400の約数を
$2^a ・ 3^b ・ 5^c$
とおいて、a,b,cの場合の数について考えます。

aの決め方は0を含めて4通り、その各々について、bの決め方が4通りで、さらにその各々について、cの決め方が3通りなので、
積の法則にあたります。

よって、$4 × 4 × 3 = 48$個となります。

続いて5400の約数の総和を求めます。

先ほど素因数分解したように5400の正の約数は、

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2 + 3^3)(1 + 5 + 5^2)$

を展開した項なので、約数の総和はこれを加算すればokですね。

よって、 $=15 × 40 × 31$
$=18600$

初版:2018/6/26