場合の数における組み合わせの公式

異なる$n$個のものから、順序を気にしないで異なるものから$r(n \geqq r)$個のものを取り出して1組としたものを、
$n$個から$r$個とる組合せといい、${}_n \mathrm{ C }_r$で表します。

取り出した$r$個に順序をつける方法は$r!$通り(例:赤・青・黄の3色の玉の並べ方順番は$3!$)で、
それらの全体が順列の総数${}_n \mathrm{ P }_r$になるので、

${}_n \mathrm{ P }_r = {}_n \mathrm{ C }_r \times r!$

よって、

${}_n \mathrm{ C }_r = \dfrac{{}_n \mathrm{ P }_r }{r!} = \dfrac{n(n - 1)(n - 2) \cdot \cdot \cdot (n - r + 1)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n - r)!} - ①$

注：①変換の補足

${}_n \mathrm{ P }_r = n(n - 1)(n - 2) \cdot \cdot \cdot (n - r + 1)$

ここで、①の分子が$n!$とおけるように、足りない部分の$(n - r)!$を分母と分子にかけます。

${}_n \mathrm{ P }_r = n(n - 1)(n - 2) \cdot \cdot \cdot (n - r + 1) \times \dfrac{(n - r)!}{(n - r)!}$

すると以下のようにつながるので、

$\dfrac{{}_n \mathrm{ P }_r = n(n - 1)(n - 2) \cdot \cdot \cdot (n - r + 1)(n - r) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1}{(n - r)!} = \dfrac{n!}{(n - r)!}$

と変形できます。

また、$0! = 1$だから

${}_n \mathrm{ C }_0 = 1$

初版:2023/12/19

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