四角形が円に内接するための条件とその証明方法について

四角形が円に内接するための条件とその証明方法についてまとめます。

条件は二つあって、どちらかが成り立てば、成り立つ四角形は円に内接します。

1組の対角の和が180°である - ①

1つの内角が、その対角の外角に等しい - ②

②が成り立つ四角形では、①も成り立つので、①について証明します。

下図四角形ABCDにおいて、$\angle B + \angle D = 180°$とする。

$\triangle ABC$の外接円Oの$\stackrel{\huge\frown}{ABC}$に対する円周角を$\angle AD'C$とすると、
四角形ABCD'は円Oに内接するから、四角形の和は180°より、

$\angle B + \angle D = 180°$

よって

$\angle D = \angle D'$

直線ACに関してDとD'は同じ側にあるから円周角の定理の逆により、4点A,C,D',Dは円Oの周上にある。
したがって、四角形ABCDは円Oに内接する。

初版:2021/9/27
改定:

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