メネラウスの定理の逆とその証明方法について

メネラウスの定理の逆とは以下のような性質を示します。

\(\triangle\) ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長上に、
それぞれ点D,E,Fをとり、この3点のうち、辺の延長上にある点の個数は1か3であるとする。

このとき、

\(\frac{AF}{FB} ・ \frac{BD}{DC} ・ \frac{CE}{EA} = 1\)が成り立てば、

3点D,E,Fは一直線上にある。

下図のように、2点F,Eはそれぞれ辺AB,AC上にあるとする。

直線FEと辺BCの延長との交点をD'とすると、メネラウスの定理より、

\(\frac{AF}{FB} ・ \frac{BD'}{D'C} ・ \frac{CE}{EA} = 1\)

これに条件の等式から

\(\frac{BD'}{D'C} = \frac{BD}{DC}\)

D,D'はともに辺BCの延長上にあるから、D'とDは一致し、3点FEDは一直線上にある。

初版:2021/6/23

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