三角形の垂心について

下図のように三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は一点で交わる。
この点を垂心という。

下図のように三角形ABCの頂点A,B,Cから対辺に下ろした垂線をそれぞれ、
AD,BE,CFとする。

また、各頂点を通り、それぞれの対辺に平行な直線を引き、
三角形PQRを作る

四角形ABCQ,ACBRは共に平行四辺形であるから

AQ = BC,RA = BC

BCが共通だから
AQ = RA

また、\(AD \perp BC\),\(RQ /\!/ BC\)だから

\(AD \perp RQ\)

よって、ADは三角形PQRの辺QRの垂直2等分線である。

同様にBE,CFはそれぞれ辺RP,PQの垂直2等分線であるから、
垂線AD,BE,CFは三角形PQRの外心で交わる

初版:2021/6/17

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