三角形の重心について

図のように三角形ABCで、各々の頂点から辺への中線は一点で交わり、
その点は各中線をを2:1に内分する

辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとすると、中点連結定理により、
ML // AB
2ML = AB

中線ALとBMの交点をGとすると、三角形GMLと三角形GBAは相似だから

AG:GL = AB:ML = 2:1

また、中線ALとCNの交点をG'とすると、同様に

AG' : G'L = AC : NL = 2:1

よって、GとG'はともに線分ALを2:1に内分する点であるから、一致する。

したがって、3つの中線は一点Gで交わり、
AG : GL = 2 : 1

同様にして、
BG : GM = CG : GN = 2 : 1であることも示せるので、
Gは各中線を2:1に内分することがわかる。

初版:2021/6/16

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