2次関数の最大・最小値の関数問題の解法テクニック

2次関数の最大・最小値の関数問題の解法テクニックをまとめたいと思います。
表題だけだと意味がわかりませんが、2次関数の最大値・最小値が関数となるので、その関数について
深掘りしていくという種類の問題です。
例題をみていきましょう。

まず、式を基本形に直します。

$f(x) = (x - 3)^2 + a - 9$

xの範囲が(a <= x <= a + 4)として定義されているので、
aの範囲により、f(x)のとりうる最大値・最小値が変わることがわかります。

また、その範囲は、下図の用に分けられます。
では、手書きの図を...

まずは、*1の場合、a + 4が軸の左側にある場合から、みていきましょう。
a + 4が軸(x = 3)の左側にあるので、a < -1の時、
最小値関数g(a)はx = a + 4の場合ですね。

a < -1のとき
$g(a) = f(a + 4) = a^2 + 3a -8$
$= (a + {3 \over2})^2 - {41 \over4}$

続いて、*2の場合つまりは、x = 3の時に最小値を取る場合です。

-1 <= a < 3の時
$g(a) = f(3) = a - 9$(常に増加)

続いて、*3の場合つまりは、x = aの時に最小値を取る場合です。

3 <= aの時
$g(a) = f(a) = a^2 - 5a = (a - {5 \over2})^2 - {25 \over 4}$常に増加

よって、g(a)は、
$a = -{3 \over 2}$のとき最小値$-{41 \over 4}$

となります。

続いて、最大値の関数であるG(a)に関してみていきます。

a < 1のとき
$G(a) = f(a) = a^2 - 5a$ 常に減少

1 <= aのとき
$G(a) = f(a + 4) = a^2 + 3a - 8$ 常に増加

したがって、G(a)はa = 1のとき最小値-4となります。

2018/5/11

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