相加平均・相乗平均の拡張と一般化

まず、3つの正の数の相加相乗平均を考えます。

3つの正の数$a,b,c$について、

$\displaystyle \dfrac{a + b + c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$

が成り立ちます

$\displaystyle \dfrac{a + b + c}{3} = d$とおくと、

$\displaystyle \dfrac{a + b + c + d}{4} = \dfrac{3d + d}{4} = d - ①$

また、相加相乗平均より、

$\displaystyle a + b \geqq 2 \sqrt{ab} , c + d \geqq 2 \sqrt{cd} - ②$

$\displaystyle \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geqq 2 \sqrt{ \sqrt{ab} \sqrt{cd}} = 2 \cdot \sqrt[4]{abcd} - ③$

②を各々加算して、③より、

$\displaystyle a + b + c + d \geqq 2( \sqrt{ab} + \sqrt{cd}) \geqq 4 \cdot \sqrt[4]{abcd} - ④$

よって、④は

$\displaystyle \dfrac{a + b + c + d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$

$\displaystyle ( \dfrac{a + b + c + d}{4})^{4} \geqq abcd$

①を代入して、

$\displaystyle d^{4} \geqq abcd$

$d > 0$だから

$\displaystyle d^{3} \geqq abc$

よって、

$\displaystyle \left( \dfrac{a + b + c}{3} \right)^3 \geqq abc$

$\displaystyle \dfrac{a + b + c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$

等号が成立するのは、②,③の等号が成り立つ時で、$a = b = c (=d)$の場合に限ります。

上で示した方法からわかるように、
正の数、$a_1,a_2 \cdot \cdot \cdot ,a_n$に対して、

$$\displaystyle \dfrac{a_1,a_2 \cdot \cdot \cdot ,a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1,a_2 \cdot \cdot \cdot ,a_n}$$

が成り立ちます。

初版:2023/7/13

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