点と直線の距離の公式とその証明

当たり判定でも使う場面の多い点と直線の距離の公式とその証明方法についてまとめたいと思います。

点$(x_{1},y_{1})$と直線$ax + by + c = 0$の距離dは

$$d = \frac{|ax_{1} + by_{1} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

点と直線との距離の公式を証明するためにまずは、原点(0,0)と直線との距離の公式の証明をします。
公式は、以下になります。

原点$(0,0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離dは

$$d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

直線を$ax + by + c = 0$ - ①とします。

原点Oを通り、直線①に垂直な直線の方程式は

$bx - ay = 0$ - ②

2直線①,②の交点をHとし、この座標を求めるために、連立方程式①,②を解きます。

① × a + ② × bから

$(a^2 + b^2)x + ac = 0 - ③$

① × b - ② × aから

$(a^2 + b^2)y + bc = 0 - ④$

①において、$a \neq 0$または$b \neq 0$だから(a,b両方0なら、直線の方程式ではなくなってしまう)

$a^2 + b^2 > 0$

よって、③より$ \displaystyle x = - \frac{ac}{a^2 + b^2}$

④より$ \displaystyle y = - \dfrac{bc}{a^2 + b^2}$

なので、点Hの座標は$(- \dfrac{ac}{a^2 + b^2},- \dfrac{bc}{a^2 + b^2})$

距離dはOHなので

$d = \sqrt{(- \dfrac{ac}{a^2 + b^2})^2 + (- \dfrac{bc}{a^2 + b^2})^2}$

$ \displaystyle d = \sqrt{ \frac{c^2(a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2)^2}}$

$ \displaystyle d = \frac{\sqrt{c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

よって
$ \displaystyle d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

原点と直線との距離の公式を利用して、点と直線の距離の公式の証明をします。

点A$(x_{1},y_{1})$とし、直線$ax + by + x = 0$を$l$とします。

点Aが原点Oに移るように、直線$l$をx軸方向に$-x_{1}$、
y軸方向に$-y_{1}$だけ平行移動すると、移動後の直線$l'$の方程式は

$a\{x -(-x_{1})\} + b\{y - (-y_{1})\} + c = 0$

原点と直線の距離の公式が使えるようにまとめると
$ax + by + (ax_{2} + by_{1} + c) = 0$

点Aと直線$l$の距離dは、原点Oと直線$l'$の距離に等しいから、
原点と直線との距離の公式を利用して

$$ \displaystyle d = \frac{|ax_{1} + by_{1} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

となり、公式を証明することができました

初版:2019/7/22
更新:2022/12/29(一部数式のフォントを変更)

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