数学の記号$ω$についてまとめる

数学で使う記号$ω$についてまとめます。

1の3乗根(3乗して1になる数)のうち、虚数であるものの1つを$ω$とします。

$ω$には以下の性質があります。

①1の3乗根は$1,ω,ω^2$

②$ω^3 = 1$

③$ω^2 + ω + 1 = 0$

この性質を紐解いて見たいと思います。

1の3乗根が1,$ω$は明白なので、$ω^2$が1の3乗根になることについて解説します。

$x$を1の3乗根とすると、

$x^3 = 1$
$x^3 - 1 = 0$

因数分解して、

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

よって、$x = 1,\dfrac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$ω = \dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$とすると

$ω^2 = (\dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2})^2$
$= \dfrac{1 - 2 \sqrt{3}i + 3i^2}{4}$
$= \dfrac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$

$ω = \dfrac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$とすると

$\displaystyle ω^2 = (\dfrac{-1 - \sqrt{3}i}{2})^2$
$\displaystyle = \dfrac{1 + 2 \sqrt{3}i + 3i^2}{4}$
$\displaystyle = \dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$

以上より、$ω^2$も1の3乗根であることがわかります。

先ほど求めた$ω^2$にωをかけて計算すると1になることがわかります(計算は省略)。

先に示したように、$ω$は$x^2 + x + 1 = 0$の解なので、
$ω^2 + ω + 1 = 0$が成り立ちます。

初版:2019/7/16