不定積分の公式の証明方法について

不定積分の公式の証明方法についてまとめます。

積分定数をCとすると、不定積分の公式は以下のようになります。

$$\displaystyle \int x^ndx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$$(nは0または正の整数)

nが正の整数の時

\((x^n)' = nx^{n - 1}\)

このnの代わりにn + 1とすると、nは0または正の整数で

\((x^{n + 1})' = (n + 1)x^{n}\)

よって

\(\displaystyle (\frac{x^{n + 1}}{n + 1})' = x^{n}\)

これを積分することで、公式が成り立つことがわかる。

n = 0の時

$\displaystyle \int 1dx = x + C$

$\displaystyle \int dx = x + C$

初版:2021/7/26

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